Вялые Записки Скучного Человека

журнал Бориса Овчинникова

Previous Entry Share Next Entry
Володинские 62,2% в Саратове: математическое доказательство фальсификации для чайников
barouh

Последние дни много веселья про результаты выборов в Саратове, где более чем на четверти участков результат Единой России оказался ровно 62,2% с точностью плюс-минус несколько сотых процента. Вот тут наглядно. Особой пикантности придает тот факт, что в Думу от Саратовской области баллотировался Володин - зампред президентской администрации, куратор всех выборов и будущий спикер Госдумы

На уровне базовой вменяемости понятно, что не может быть такое совпадение результатов на десятках участков. Но люди просят ДОКАЗАТЕЛЬСТВ. Ну что же, объясняю на пальцах и с цифрами. Математическое доказательство того, что результаты выборов по Саратову фальсифицированы

Для начала представьте себе огромный контейнер, в котором много-много (больше 100 тысяч) шаров. Белые и черные. Черных больше - 62,2% от всех. Шары равномерно и добросовестно перемешаны - т.е. в любой части контейнера соотношение белых и черных шаров примерно одинаковое
Теперь мы вслепую достаем шары из этого контейнера и раскладываем по кучкам. Пусть в каждой кучке у нас будет 1340 шаров. Сколько в каждой кучке будет черных шаров? Можем ли мы быть уверены, что в каждой кучке доля черных шаров будет именно 62,2%, а не скажем 62,0%, 62,4% или 65,0%? Тут нам на помощь приходит математика биномиального распределения. Биномиальное распределение - это такое случайное распределение, у которого может быть только два значения (0 или 1, "да" или "нет") и у которого есть определенная вероятность, что случится исход "да". Вокруг этого построен большой и важный раздел теории вероятности, и здесь используется четкая и легко доказуемая математика
Прежде чем с помощью тервера отвечать на условно сложный вопрос про 1340 шаров, давайте посмотрим на простую ситуацию - вытаскиваем 2 шарика. У нас может быть всего 4 комбинации: черный-черный, черный-белый, белый-черный, белый-белый. Вероятность, что будет 2 белых шара, примерно 15% (37,8% в квадрате), вероятность, что будет 2 черных шара, чуть меньше 40% (62,2% в квадрате). Остальные примерно 45% - это вероятность того, что будет 1 белый шар и 1 черный шар (нам не важно, в каком порядке мы их вытащим). Если у нас 3 шарика, то комбинаций уже 8, вероятность 3 белых шаров около 6%, вероятность 3 черных шаров около 35%, а скорее всего у нас будет 1 или 2 черных шара. Ну и так далее.
Есть понятные и достаточно легко выводимые формулы (вот например не очень заумное описание), есть функция в Excel под названием BINOMDIST (БИНОМРАСП), которая позволяет рассчитать вероятность для любого количества успешных исходов при определенном количество "попыток" (в нашем примере это вытаскиваемые шары) и определенной вероятности.
Например, если мы вытащили 1340 шариков из большого контейнера, в котором доля черных шаров составляет 62,2%, то вероятность, что в кучке окажется менее 60% черных шаров составляет 5,2%, а что более 65% - 1,8%. Менее 62% получится с вероятностью 43%, более 63% - с вероятностью 29% (и соответственно только 28% исходов придется на диапазон от 62% до 63%). Вероятность же того, что при округлении до десятых процента у нас получится ровно 62,2%, совсем небольшая - такой результат получится только если черных шаров будет 833 или 834, а вероятность любого из этих исходов составляет примерно 2,2% (4,5% в сумме). То есть только в каждой 22-ой кучке у нас доля черных шаров (округленная до десятых долей процента) будет такой же, как во всем контейнере - в остальных кучках она будет немного (на десятые доли процента или на несколько процентов) больше или меньше; в половине случаев отклонение будет 1% или более.

А теперь вместо шаров подставим избирателей. Кучки = избирательные участки, 1340 = среднее количество избирателей, проголосовавших на саратовских участках; 62,2% = результат Единой России на сомнительных участках; контейнер = все саратовские участки, где повторяется результат 62,2% (а точнее от 62,135% до 62,245%). Здесь мы на самом деле делаем два важных допущения В ПОЛЬЗУ предположения о честности саратовских избиркомов: во-первых, мы допускаем, что за Единую Россию в сумме по обсуждаемым участкам действительно проголосовало 62,2% избирателей (т.е. что в "контейнере" доля черных шаров действительно 62,2%); во-вторых, мы допускаем, что участки одинаковые по характеристикам избирателей, т.е. что белые и черные "шары" хорошо перемешаны и отличия между "кучками" по доле черных шаров случайны. На самом деле оба допущения конечно же не соответствуют действительности, но нам важно доказать, что даже при максимально лояльных к избиркомам допущениям полученные в Саратове результаты статистически невероятны (если мы предположим, что на самом деле вероятность голосования за Единую Россию в целом по городу не 62,2%, а меньше или больше, или если мы предположим, что между отдельными избирательными участками есть фундаментальные различия по составу электората, наша оценка вероятности попадания результата ЕР на конкретном участке в 62,2%, а точнее в диапазон 62,135%-62,245%, резко упадет). Вероятность (попадания точно в 62,2%) на уровне 4,5%, которая у нас посчиталась выше, - это максимально возможная, максимально лояльная к избиркомам оценка.
Итак, если в городе (районе, группе избирательных участков) за Единую Россию в среднем голосует 62,2%, то на участке с 1340 избирателями вероятность попадания результата (с точностью до десятых процента) в 62,2% составляет 4,5%. А вот на участке с 1341 избирателями вероятность такого попадания уже составляет всего лишь 2,2% - потому что в искомый диапазон попадает уже не 2 числа (833 и 834), а только одно (834). Если взять официальные данные по количеству проголосовавших по каждому из 107 прославившихся участков (а там по официальным цифрам голосовало от 550 до 1922 человек на каждом участке), то в среднем по этим участкам вероятность попадания результата ЕР в диапазон от 62,135% до 62,245% составляет 3,4% (разброс от 1,9% до 5,3%)

На картинке показано распределение саратовских участков по явке - с группировкой по "бинам" шириной в 0,1%. И для сравнения синенький холмик - распределение, которое должно было получиться, если бы все участки Саратова были бы примерно одинаковые, и различия между ними носили случайный характер (в реальности, с учетом экономических и социальных различий между районами города, "холмик" должен был бы быть еще более низким и широким)



Выше мы посчитали по отдельным участкам. А чтобы от этого перейти к оценке вероятности в целом по Саратову, мы смоделируем еще одно биномиальное распределение. В первом распределении у нас исходом было голосование или неголосование конкретного избирателя за Единую Россию. Во втором распределении таким исходом уже является попадание или непопадание результата ЕР на конкретном участке в 62,2%. Участков в Саратове 346, из них на 107 участках результат Единой России составил от 62,136% до 62,245%, вероятность попадания участка в этот диапазон в среднем 3,4%. При такой вероятности подобных участков должно было бы быть в Саратове около 12. А их оказалось 107! 95 сверхнормативных попаданий. Эксель даже не может посчитать вероятность такого "везения" - в какой-то момент он округляет до нуля. Но эксель может посчитать, что вероятность 10 и более попаданий сверх нормы (22 УИКа и более) составляет 0,4%, вероятность 20 попаданий сверх нормы уже в 9300 раз меньше - только 0,000045% (1 раз на 2,2 миллиона голосований). Максимум, что может посчитать эксель - 46 попаданий из 346: вероятность 1 на 180 триллионов. Дальше можно только примерно оценивать - для 107 попаданий у меня получилась вероятность примерно 10 в степени -44. Примерно как если бы в рулетке одно и то же число выпало 28 раз подряд. Вот у единоросов в Саратове точно такая же феноменальная стабильность и везение

Еще раз: вероятность того, что популярность в Саратове результата ЕР 62,2% получилась случайно (а не в результате рисования цифр) составляет не более 10-44

А вещь еще в Саратове было 35 участков, где результат Единой России чуть больше 62,2% - от 62,25% до 62,40%. Таких 35 участков. Вероятность, что эти 35 участков скучковались случайно, - 0,0001% или 1 случай на 945 тысяч. Так что математически фальсификации в Саратове доказываются даже не на 107 участках, а как минимум на 142 участках - это почти половина города.

P.S. Спасибо заинтересованному читателю, который не поленился продублировать мои расчеты. Похоже, что я сильно завысил вероятность саратовского совпадения. Для 107 участков вероятность совпадения получается не 10-44, а видимо что-то около 10-70 или 10-80

</sup>


  • 1
Про парадокс дней рождения не зря тут комментаторы напоминают. У нас же задача не посчитать вероятность получения именно 62.2%. Нам надо считать вероятность того, что N из M участков будут иметь один и тот же процент (каким бы он ни был) с точностью до 0.1%. Не думаю, что это событие будет практически вероятным, но все же. Можно ли высчитанную вами вероятность просто умножить на 1000 (по количеству 0.1%-ных интервалов) - с ходу не могу сказать, плохой из меня математик. Может, потом посчитаю.

Что касается аргументов от "гуманитариев", мол нельзя поведение на выборах описать каким-либо распределением, то тут надо подобрать подходящее распределение и продемонстрировать его применимость на результатах других выборов, к которым претензий было меньше. Это, конечно, не убедит упомянутых "гуманитариев", но проверифицирует модель :)

Про сравнение с другими распределениями - если исключить Саратовскую, Тюменскую, Кемеровскую области и 6 республик - Татарстан, Башкирия, Дагестан, Чечня, Ингушетия, Кабардино-Балкария, Карачаево-Черкессия (регионы, в которых есть "сгустки" результатов ЕР с вероятностью случайности менее 0,001%), то во всей остальной России есть только один "сгусток" с вероятностью менее 0,04% (в ХМАО - и там явно тоже рисовали под копирку, просто на небольшом количестве участков). Вероятности тут посчитаны естественно под всю ту же модель случайных отклонений участков от среднего по группе участков (по "сгустку")

Я имел в виду другие выборы, как у нас, так и за рубежом.

Региональные группы

Из 15-й группы избрано 10 единоросов. При этом от Москвы и Петербурга теперь в Госдуме будет заседать меньше депутатов, даже от "Единой России". http://www.vybory.izbirkom.ru/region/region/izbirkom?action=show&root=1&tvd=100100067795849&vrn=100100067795849®ion=0&global=1&sub_region=0&prver=0&pronetvd=0&type=220

Про вероятность попадания в любой интервал - нет, не соглашусь. Я по сути считаю не вероятность попадания в 62,2%, а вероятность отклонения от матожидания менее чем на 0,5% (или точнее 0,55%). Это вполне осмысленный и оправданный расчет

Если отказываться от модели случайных отклонений и использовать более похожую на реальные данные модель (например, равномерное распределение на отрезке с дисперсией 2-5%, охватывающем скажем 90% участков), то вероятность попадания в любое значение - например, в 62,2% - будет намного меньше, чем в моей модели с минимальной дисперсией

Спасибо за разъяснение.

Немножко позанудствую всё же. В идеале-идеале надо считать вероятность того, что без подтасовок возникнет какая-либо из известных статистических аномалий: подозрительная близость к матожиданию, другие неожиданные всплески, нарушение закона Бенфорда (если он применим к результатам голосования) и пр.
Все это в тысячу-другую раз увеличит циферку. Не думаю, что это спасет отца русской демократии и оправдает странности в нынешних результатах, но строгие выкладки были бы к месту.

Не уверен, что такая логика правильная. Мы же проверяем не гипотезу, что результаты выборов в Саратове свободны от статистических аномалий. А проверяем гипотезу, что скученность результатов могла возникнуть случайно

Тут дело вот в чём. Предствьте, что наряду со скученностью результатов у нас есть еще 10^80 справедливых поводов придраться. Тогда даже при астрономической НЕвероятности каждого отдельного события какое-нибудь из этих 10^80 вполне может наступить. В таком случае наша "апостериорная" претензия к цику будет несправедлива.
Очевидно, что у нас нет 10^80 потенциальных критериев (их гораздо меньше), и это делает наше негодование справедливым. Но было бы классно хоть как-то учесть их наличие, а не выбирать апостериорно единственный критерий.

Есть конкретная гипотеза - что скученность результатов вокруг определенного значения носит неестественный характер, а вызвана "рисованием" результатов, производившимся в одном месте или по единому шаблону, спущенному сверху

Для проверки этой гипотезы мы считаем вероятность того, что подобное скопление могло получиться случайно. Мы проверяем конкретную модель фальсификаций - и тестируем именно тот параметр - по сути единственный - который позволяет выявить этот тип фальсификаций

  • 1
?

Log in

No account? Create an account